函数的凹凸性和拐点是高等数学二中导数应用的一个重要内容。函数的凹凸性描述的是曲线的弯曲方向而拐点是曲线凹凸性发生改变的点。在考试中凹凸性和拐点通常以选择题和计算题的形式出现。今天就把凹凸性和拐点的判断方法讲清楚。

判断函数凹凸性要用到二阶导数。如果函数在某区间内的二阶导数大于零那么函数在该区间内是凹的。如果二阶导数小于零那么函数在该区间内是凸的。注意凹凸性的定义在不同教材中可能相反。在高数二的考试中凹是指曲线向上弯曲凸是指曲线向下弯曲。

拐点是指函数曲线由凹变凸或由凸变凹的点。拐点处函数的二阶导数为零或者二阶导数不存在。判断拐点的方法是先找出二阶导数为零或不存在的点然后检查这些点左右两侧二阶导数的符号是否相反。如果符号相反就是拐点如果符号相同就不是拐点。

举个例子。判断函数f等于x的三次方的凹凸性和拐点。先求二阶导数f的双撇等于6x。当x大于0时二阶导数大于零函数是凹的。当x小于0时二阶导数小于零函数是凸的。二阶导数等于零的点是x等于0。在0的左侧二阶导数为负右侧为正符号发生了改变所以x等于0是拐点。

凹凸性和拐点的计算在高数二的考试中属于中等难度的题。解题的关键是求二阶导数然后根据二阶导数的符号判断凹凸性根据二阶导数为零的点判断拐点。步骤比较固定掌握了步骤之后做起来就简单了。在备考的时候可以多练几道求凹凸性和拐点的题目熟悉计算的流程。