幂级数是高等数学一中无穷级数的重要内容。幂级数是形如a0加a1x加a2x平方一直加到anx n次方的无穷级数。在考试中幂级数收敛半径的求解是计算题的常见内容。今天就把幂级数收敛半径的求法给大家讲一讲。

求幂级数收敛半径的常用方法是比值法。设幂级数的通项为an乘以x的n次方用后一项的系数除以前一项的系数的绝对值的极限。收敛半径R等于这个极限值的倒数。如果极限值为零收敛半径为无穷大级数在整个实数范围内收敛。如果极限值为无穷大收敛半径为零。

另一种求收敛半径的方法是根值法。用系数绝对值的n次方根的极限。收敛半径同样等于这个极限的倒数。比值法和根值法求出的结果是一样的。在考试中可根据系数的形式选择更方便的方法。如果系数中含有阶乘用比值法比较方便。

求出了收敛半径之后还不能完全确定收敛区间。需要进一步判断端点的收敛情况。把x等于正负R代入原级数判断级数是否收敛。收敛区间可能是开区间半开区间或者闭区间。在考试中端点收敛性的判断是幂级数求收敛区间的一个关键步骤容易被忽略。

幂级数的内容在考试中占一道题左右的分值。复习的时候要熟练掌握比值法求收敛半径的步骤以及端点收敛性的判断方法。在做题的时候先求收敛半径再判断端点最后写出收敛区间。在练习中多做一些不同形式的幂级数题熟悉各种系数情况下的求解方法。