微分中值定理是高等数学二中微分学部分的重要理论。中值定理包括罗尔定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理。在考试中中值定理的应用通常以证明题的形式出现难度相对较大。今天就把微分中值定理的常见题型和证明思路讲一下。

罗尔定理是最基础的中值定理。罗尔定理的条件是函数在闭区间上连续在开区间内可导且区间端点函数值相等。结论是在开区间内至少存在一点使得函数的导数等于零。在应用罗尔定理解题的时候关键是要找到辅助函数让辅助函数满足罗尔定理的条件。

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间上连续在开区间内可导。结论是在开区间内至少存在一点使得该点的导数等于区间端点函数值的差除以区间长度的商。拉格朗日中值定理在证明不等式和等式的时候非常有用。在考试中拉格朗日中值定理的应用频率是最高的。

柯西中值定理是两个函数的拉格朗日中值定理的推广。柯西中值定理的应用场景相对较少但在某些特定的证明题中也会用到。三个中值定理的关系是罗尔定理是基础拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。这个关系在考试中有时候也会考到。

中值定理的应用题在考试中的解题思路是先把要证明的结论分析一下看看需要用到哪个定理。然后构造辅助函数。辅助函数的构造是中值定理证明题的关键也是难点。在备考的时候多做一些中值定理的证明题练习辅助函数的构造方法。掌握了常见的辅助函数构造模式之后中值定理的证明题也就不那么难了。