定积分的应用是高数二考试中综合题的常见内容。主要的应用包括求平面图形的面积和旋转体的体积。这部分题目需要结合图形来分析对考生的综合能力有一定要求。今天就把定积分在面积和体积计算中的应用方法给大家讲一讲。

用定积分求平面图形的面积时首先要画出图形确定积分区域。面积等于被积函数在积分区间上的定积分。如果图形由两条曲线围成面积等于上方曲线减去下方曲线在交点之间的定积分。如果图形由一条曲线和坐标轴围成面积等于曲线函数在对应区间上的定积分取绝对值。

用定积分求旋转体的体积时使用的是圆盘法或者壳层法。圆盘法是先把图形绕坐标轴旋转然后在横坐标处切出一个薄圆盘体积等于派乘以半径的平方乘以厚度再对半径函数做定积分。绕x轴旋转时半径就是纵坐标函数y绕y轴旋转时半径是横坐标x。

在计算面积和体积的时候确定积分上下限是关键。积分上限和下限是图形在坐标轴上的投影区间或者曲线的交点坐标。在考试中定积分应用的题目通常会给具体的函数和区间。计算的时候先画出草图再根据图形来确定是用面积公式还是体积公式以及积分限的范围。

定积分应用的题目在考试中占的分值比较稳定。复习的时候要掌握面积和体积的计算公式特别是圆盘法的应用。多做几道典型题目熟悉从画图到列式到计算的完整过程。在考试中定积分应用的计算量比较大要留出充足的时间仔细计算避免计算失误。