高等数学是云南专升本理工类和经管类专业的考试科目——积分计算是高等数学中的核心内容——也是考试中的必考题型。积分包括不定积分和定积分两大类——不定积分是求导的逆运算——定积分是求曲线下面积和累加和。积分计算的题目在考试中一般占20到30分——是不可忽视的分数来源。本文就来汇总积分计算的核心方法。

第一类换元积分法（凑微分法）是最基本的积分方法。凑微分的本质是把被积函数中的一部分跟dx凑成一个微分——然后整体替换成新变量——转化为基本积分公式中的形式。凑微分的核心技巧是观察被积函数的结构——看哪一部分可以看成是一个复合函数的导数。常用的凑微分形式有dx等于d（x加c）——xdx等于二分之一d（x平方）——sinxdx等于负d（cosx）——cosxdx等于d（sinx）——x分之一的dx等于d（lnx）等。凑微分法的关键在于灵活运用这些微分形式——把被积函数变换成可以直接用积分公式计算的形式。

第二类换元积分法适用于被积函数中含有根式的积分。常见的换元方式有三角代换——被积函数含有根号下a平方减x平方时设x等于a sin t——含有根号下a平方加x平方时设x等于a tan t——含有根号下x平方减a平方时设x等于a sec t。三角代换的目的是利用三角恒等式去掉根号——把根式积分转化为三角函数积分——再通过三角恒等式和基本积分公式求解。换元后要注意把结果用原变量表示——这通常需要画直角三角形辅助。

分部积分法适用于两个不同类型函数乘积的积分——比如x乘以指数函数、x乘以三角函数、指数函数乘以三角函数等。分部积分的公式是u乘以dv的积分等于u乘以v减去v乘以du的积分。使用分部积分的关键是正确选择u和dv——原则是选择后du变简单——且v乘以du的积分比原积分更容易计算。选择技巧是反三角函数和对数函数设为u——幂函数设为u——指数函数和三角函数设为dv。这个技巧可以记忆为反对幂指三——越靠左的越优先设为u。

定积分的计算方法包括牛顿莱布尼茨公式——先求原函数——然后用上限代入减去下限代入。定积分的换元法和分部积分法跟不定积分类似——但要注意换元时积分限要同步变换。定积分的分部积分中——代入上下限的那部分可以直接计算——剩下的不定积分部分按不定积分的分部积分法处理再代入上下限。定积分的几何应用——求曲线下的面积旋转体体积和曲线弧长——是考试的常考内容。积分计算的备考建议是大量练习——把每种方法的不同题型都做一遍——熟能生巧——考试时看到题目就能迅速判断使用哪种积分方法。